Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，

BA

•

BC

=0，异面直线A₁B与AC成60°角，点O、E分别是棱AC和BB₁的中点，点F是棱B₁C₁上的动点．
（1）证明：A₁E⊥OF．
（2）求点E到面AB₁C的距离．
（3）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）以B为坐标原点，以BA，BC，BB₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出棱锥的高，根据异面直线A₁B与AC成60°的角，写出两条异面直线的夹角，求出高，再求出异面直线所成的角．
（2）求出平面AB₁C的法向量为

n

和向量

EA

的坐标，代入点E到面AB₁C的距离公式d=

| n • EA |

| n |

，即可求出点E到面AB₁C的距离．
（3）根据建立的坐标系，看出平面的一个法向量，设出另一个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出一个法向量，根据两个向量的夹角做出二面角的值．

解答：解：（1）如图1，以B为坐标原点，以BA，BC，BB₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）
设棱锥的高为h，则A₁（2，0，h），C（0，2，0），

CA

=(2，-2，0)．
∴cos＜?

BA1

，

CA

＞=

BA1 • CA

| BA1 |•| CA |

，
即cos60°=

4

2 2 • 4+h2

，解得h=2．
∴E（0，0，1），A₁（202），

A1E

=(-2，0，-1)．
∵F为棱B₁C₁上的动点，故可设f（0，y，2）．
∴

OF

=(-1，y-1，2)．
又

A1E

•

OF

=(-2，0，-1)•(-1，y-1，2)=0
∴

A1E

⊥

OF

（2）易求出平面AB₁C的法向量为

n

=（1，1，1），

EA

=（2，0，-1）
∴点E到面AB₁C的距离d=

| n • EA |

| n |

=

3

3

（3）易知平面A₁CC₁的一个法向量为

BO

=（1，1，0），
设平面A₁B₁C的一个法向量为

n

=（x，y，1），则

n

=(x，y，1)

n

•

A1C

=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①

n

•

A1C

=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
由①、②，得

n

=(0，1，1．)．
∴cos＜

n

，

BO

＞=

n • BO

| n |•| BO |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴＜

n

，

BO

＞=60°．
即二面角B₁-A₁C-C₁的大小为60°．

点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度