Question

已知AB是表面积为4π的球的直径，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=1，则三棱锥A-BCD的体积为

2

6

．

Answer 1

分析：设AB中点即球心为O．连接OC、OD，取OD中点F，连接BF、CF．由正余弦定理，算出S_△BCF=

2

4

，得V_C-BOD=

1

3

S_△BCF×OD=

2

12

，从而得到三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=2V_C-BOD=

2

6

．

解答：解：∵球的表面积为4π
∴4πR²=4π，得球的半径R=1
设AB中点即球心为O．连接OC、OD，取OD中点F，连接BF、CF
∵OB=OD=BD=1，F为OD中点
∴△BDF是正三角形，BF⊥OD，且BF=

3

2

同理可得CF⊥OD，CF=

3

2

∵BF、CF是平面BCF内的相交直线
∴OD⊥平面BCF
△BCF中，cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF•CF

=-

1

3

，所以sin∠BFC=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

∴S_△BCF=

1

2

BF•CFsin∠BFC=

1

2

×

3

2

×

3

2

×（

2 2

3

）=

2

4

由此可得V_C-BOD=V_D-BCF+V_O-BCF=

1

3

S_△BCF×OD=

2

12

∵△ABD中，OD是AB边上的中线
∴S_△ABD=2S_△0BD，得V_C-ABD=2V_C-BOD
∵V_C-BOD=

2

12

，
∴三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=V_C-ABD=2V_C-BOD=2×

2

12

=

2

6

故答案为：

2

6

点评：本题在球中给出内接四面体，求四面体的体积，着重考查了线面垂直的判定、球内接多面体和锥体体积公式等知识，属于中档题．