Question

已知函数f（x）=，x∈［1，+∞］.

（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈［1，+∞］，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

Answer 1

解析：对于（1），将f（x）变形为f（x）=x+2+=x++2，然后利用单调性求解.对于（2），运用等价转化＞0（x∈［1，+∞））恒成立，等价于x²+2x+a＞0恒成立，进而解出a的范围.

解：（1）当a=时，f（x）=x++2.

    因为f（x）在区间［1，+∞］上为增函数，

    所以f（x）在区间［1，+∞］上的最小值为f（1）=.

（2）解法一：在区间［1，+∞］上，f（x）=＞0恒成立x²+2x+a＞0恒成立.

    设y=x²+2x+a，∵（x+1）²+a-1在［1，+∞］上单调递增.∴当x=1时，y_min=3+a.于是当且仅当y_min=3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，

∴a＞-3.

解法二：f（x）=x++2，x∈［1，+∞］.

    当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；当a＜0时，函数f（x）单调递增.

    故当x=1时，f（x）_min=3+a.

    于是当且仅当f（x）_min=3+a＞0，函数f（x）＞0恒成立.

    故a＞-3.