Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明：函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）如果函数g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）的定义域的交集是空集，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在函数f（x）的定义域内，利用单调性定义证明是增函数即可；
（2）根据g（x）、h（x）的定义域的交集是空集，可得不等式，从而解得c的取值范围．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，其中-x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
又f（x）是[-1，1]上的奇函数，∴f（-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由题意，g（x）、h（x）的定义域可化为

-1≤x-c≤1 -1≤x-c2≤1

，化简得

-1+c≤x≤c+1 -1+c2≤x≤1+c2

；
由条件知c+1＜-1+c²或1+c²＜-1+c，即c²-c-2＞0或c²-c+2＜0；
解得c＜-1或c＞2；
所以c的取值范围是{c|c＜-1或c＞2}．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用，单调性的判定等知识，是基础题．