题目内容
已知
=（1，2cosx），
=（sin（2x+
），cosx），f（x）=
•
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）说明f（x）的图象是由g（x）=
sin2x的图象如何变换得到的？
（3）求f（x）在（0，
）上的值域．
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| a |
| b |
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）说明f（x）的图象是由g（x）=
| 3 |
（3）求f（x）在（0，
| π |
| 2 |
分析：（1）根据向量数量积公式，结合三角恒等变换公式化简，得f（x）=
sin（2x+
）+1．再由三角函数的周期公式和单调区间公式加以计算，即可得到f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）根据函数图象平移的公式，结合题意可得将g（x）=
sin2x的图象平移到f（x）的图象的方法；
（3）因为x∈（0，
）时2x+
∈（
，
），结合正弦函数的图象与性质即可算出函数f（x）在（0，
）上的值域．
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）根据函数图象平移的公式，结合题意可得将g（x）=
| 3 |
（3）因为x∈（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）f（x）=
•
=sin（2x+
）+2cos2x=
sin（2x+
）+1
∵ω=2，∴最小正周期T=
=π，
令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z）
∴单调递增区间为[-
+kπ，
+kπ]．（k∈Z）…（4分）
（2）∵将g（x）=
sin2x的图象向左平移
个单位，得到y=
sin（2x+
）的图象
再将所得图象向上平移1个单位，得到y=
sin（2x+
）+1．
∴f（x）的图象是由g（x）=
sin2x的图象先向左平移
个单位，再向上平移1个单位而得…（8分）
（3）当x∈（0，
）时，2x+
∈（
，
），
可得sin（2x+
）∈（-
，1]，
∴
•（-
）+1＜f（x）≤
•1+1，
可得f（x）在（0，
）上的值域为（-
，
+1]．…（12分）
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵ω=2，∴最小正周期T=
| 2π |
| ω |
令-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴单调递增区间为[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）∵将g（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
再将所得图象向上平移1个单位，得到y=
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的图象是由g（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
（3）当x∈（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
可得sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
可得f（x）在（0，
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题给出数量积的运算结果作为f（x）的函数，研究函数的单调性、周期性与值域．着重考查了平面向量数量积的运算、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换和三角恒等变换等知识，属于中档题．
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