Question

设函数f（x）（x＞0）满足：f（2）=1，且对任意的a，b∈（0，+∞）都有f（a•b）=f（a）+f（b），则f(4)+f(

1

8

)=

-1

．

Answer 1

分析：由题意可求得f（1）=0，f（4）=2，从而可求得f（

1

2

），f（

1

4

），f（

1

8

），问题解决了．

解答：解：∵对任意的a，b∈（0，+∞）都有f（a•b）=f（a）+f（b），
∴令a=b=1，代入得：f（1）=0；
又∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=0，
∴f（

1

2

）=-f（2）=-1；
∴f（

1

4

）=-2，f（

1

8

）=-3；
∴原式=2-3=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及转化与运算能力，属于中档题．