Question

3．已知关于x的方程x²-4mx+4m=0在x∈[$\frac{3}{2}$，5）上有解，则实数m的取值范围为[1，$\frac{25}{16}$）．

Answer 1

分析 由题意，△=16m²-16m≥0，故m≥1或m≤0，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的m值，可得答案．

解答 解：由题意，△=16m²-16m≥0，
故m≥1或m≤0；
①若m≤0，则f（x）=x²-4mx+4m在[$\frac{3}{2}$，5）上单调递增，
若方程x²-4mx+4m=0在x∈[$\frac{3}{2}$，5）上有解，
则$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{3}{2}）≤0\\ f（5）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}-2m≤0\\ 25-16m＞0\\ m≤0\end{array}\right.$，
此时不存在满足条件的m值；
②若1≤m＜$\frac{5}{2}$，则f（x）=x²-4mx+4m在[$\frac{3}{2}$，2m]上单调递减，在[2m，5）上单调递增，
若方程x²-4mx+4m=0在x∈[$\frac{3}{2}$，5）上有解，
则$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{3}{2}）≥0或f（5）＞0\\ f（2m）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}-2m≥0，或25-16m＞0\\ 4m-4{m}^{2}≤0\\ 1≤m＜\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得：m∈[1，$\frac{25}{16}$），
③若m≥$\frac{5}{2}$，则f（x）=x²-4mx+4m在[$\frac{3}{2}$，5）上单调递减，
则$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{3}{2}）≥0\\ f（5）＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}-2m≥0\\ 25-16m＜0\\ m≥\frac{5}{2}\end{array}\right.$
此时不存在满足条件的m值；
综上所述：m∈[1，$\frac{25}{16}$），
故答案为：[1，$\frac{25}{16}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．