Question

已知函数f（x）=

1

4-2x

的图象关于点P对称，则点P的坐标是

（2，

1

8

）

．

Answer 1

分析：设P（m，n），设f（x）上的任意点为M（x，y），利用对称性的性质和中点坐标公式即可求得点M关于点P的对称点N，根据点M和N均在y=f（x）上，列出关于方程组，可知方程组对任意的x和y恒成立，从而求得点P的坐标．

解答：解：设点P（m，n），设f（x）上的任意点为M（x，y），
根据中点坐标公式，
则点M关于P（m，n）的对称点N为（2m-x，2n-y），
∵函数f（x）=

1

4-2x

的图象关于点P对称，
∴点M（x，y）和点N（2m-x，2n-y）均在函数y=f（x）=

1

4-2x

上，
则有

y= 1 4-2x 2n-y= 1 4-22m-x

，即2n-

1

4-2x

=

1

4-22m-x

，
整理化简可得：（8n-1）•2^2x+（8-32n-2n•4^m）•2^x-（8n-1）•4^m=0对任意的x均成立，
∴

8n-1=0 8-32n-2n•4m=0 (8n-1)•4m=0

，解得

m=2 n= 1 8

，
∴点P的坐标是（2，

1

8

）．
故答案为：（2，

1

8

）．

点评：本题考查了函数的图象的对称性，巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．涉及了方程的恒成立问题．属于中档题．