Question

已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx²．

(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤；

(2)当b＞1时，证明对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1， 　　∵f(x)＝－b(x－)2＋， 　　∴f()＝≤1． 　　∵a＞0，b＞0，∴a≤． 　　(2)必要性：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1f(x)≥－1， 　　∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1． 　　对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，∵b＞1，可以推出f()≤1，即a·－1≤1． 　　∴a≤．∴b－1≤a≤． 　　充分性：∵b＞1，a≥b－1，对任意x∈[0，1]，可以推出ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1． 　　∵b＞1，a≤，对任意x∈[0，1]可以推出ax－bx2≤x－bx2≤1，即ax－bx2≤1． 　　∴－1≤f(x)≤1． 　　综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤．