Question

已知函数f（x）=

lnx

x+a

（ a为常数）在点（1，f（1））处切线的斜率为

1

2

．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为

1

2

，可得f′(1)=

1

2

，解之即可；（Ⅱ）把问题转化为方程1+

1

x

-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数g(x)=1+

1

x

-lnx(x＞0)，可得函数g（x）有零点x₀∈（3，4），进而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）求导数可得f′(x)=

x+a x -lnx

(x+a)2

=

1+ a x -lnx

(x+a)2

，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为

1

2

，
∴f′(1)=

a+1

(a+1)2

=

1

a+1

=

1

2

，解得a=1---------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（I）可知f′(x)=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

∵函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，
∴方程f′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程1+

1

x

-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解----------------------------------（7分）
令g(x)=1+

1

x

-lnx(x＞0)，
∵x＞0，∴g′(x)=-

1

x2

-

1

x

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数---（9分）
又g(3)=

4

3

-ln3=

1

3

ln

e4

27

＞

1

3

ln

2.54

27

＞0，
g(4)=

5

4

-ln4=

1

4

ln

e5

256

＜

1

4

ln

35

256

＜0
∴函数g（x）有零点x₀∈（3，4）----------------------------------（12分）
∵方程g（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值为3．---------（13分）

点评：本题为函数与导数的综合应用，涉及切线问题和构造函数法以及函数的零点，属中档题．