题目内容

O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：
①
OA
+
OB
+
OC
=0；
②
OD
+
OE
+
OF
=0；
③|
OD
|：|
OE
|：|
OF
|=cosA：cosB：cosC；
④?λ∈R，使得
AD
=λ（
.
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
|sinC
）．
以上命题正确的个数是（　　）
分析：由O点是锐角三角形ABC的外心，利用外心的概念，结合向量加法的平行四边形法则得到向量
OD
，
OE
，
OF
与向量
OA
，
OB
，
OC
的关系，运用反证法的思想得到命题①②均不正确；
利用三角形外接圆半径的关系，把|
OD
|：|
OE
|：|
OF
|转化为
OD
OC
：
OE
OA
：
OF
OB
，进一步转化为cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，借助于同弧所对圆心角是圆周角的2倍得到③|
OD
|：|
OE
|：|
OF
|=cosA：cosB：cosC；
利用正弦定理把命题④中的sinB和sinC替换为三角形的边长和外接圆的半径，由
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)替换整理可求出存在的实数λ的值．
解答：解：因为O是锐角三角形ABC的外心，所以O在△ABC内部，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，
则D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，
由向量加法的平行四边形法则可知，
OB
+
OC
=2
OD
，
若
OA
+
OB
+
OC
=
0
，则
OA
=-(
OB
+
OC
)，所以
OA
=-2
OD
，说明A，O，D一定共线，因为OD⊥BC，
所以AD⊥BC，则有AB=AC，而原三角形只是锐角三角形，不一定有AB=AC，所以命题①错误；
由
OD
=
1
2
(
OB
+
OC
)，
OE
=
1
2
(
OC
+
OA
)，
OF
=
1
2
(
OA
+
OB
)，
所以
OD
+
OE
+
OF
=
1
2
(2
OA
+2
OB
+2
OC
)=
OA
+
OB
+
OC
，
因为命题①不正确，所以命题②不正确；
因为O是△ABC的外心，所以OA=OB=OC，又OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB
所以OD：OE：OF=
OD
OC
：
OE
OA
：
OF
OB
=cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，
∵∠COD=
1
2
∠BOC=∠A，∠AOE=
1
2
∠COA=∠B，∠BOF=
1
2
∠AOB=∠C，
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC，所以命题③正确；
在△ABC中，因为
|
AC
|
sinB
=
|
AB
|
sinC
=2R，
所以
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
|sinC
=
2R
|
AB
|•|
AC
|
(
AB
+
AC
)，
因为
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)，若?λ∈R，使得
AD
=λ（
.
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
|sinC
），
即
AD
=
2λR
|
AB
|•|
AC
|
(
AB
+
AC
)，则
2λR
|
AB
|•|
AC
|
=
1
2
，所以λ=
|
AB
|•|
AC
|
4R
．
所以?λ∈R，使得
AD
=λ（
.
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
|sinC
），所以命题④正确．
综上，正确命题是③④．
故选B．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角形的外心，明确三角形的外心是三边中垂线的交点是关键，考查了平面向量在三角形中的应用，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，则m=（　　）
已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=
π
4
，若
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
=2m
AO
，则m，的值为（　　）
已知O是锐角三角形ABC的外心，△BOC，△COA，△AOB的面积数依次成等差数列．
（1）推算tanAtanC是否为定值？说明理由；
（2）求证：tanA，tanB，tanC也成等差数列．

O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：

①；

②；

③：：=cosA：cosB：cosC;

④，使得。

以上命题正确的个数是（   ）

A．1                B．2                C．3                D．4；

 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网