Question

圆台上底面半径r为5cm，下底面半径R为10cm，母线AB长为20cm，从AB中点M拉一根绳子绕圆台侧面转到B，当绳子拉的足够紧时绳子最短的长度是

50

cm，此时绳子上各点与上底面圆周的最短距离是

4

cm．

Answer 1

分析：由题意需要画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，在求出最短的距离．

解答：解：画出圆台的侧面展开图，
并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O．
有图得：所求的最短距离是MB'，
设OA=R，圆心角是α，则由题意知，
10π=αR  ①，20π=α（20+R）  ②，由①②解得，α=

π

2

，R=20，
∴OM=30，OB'=40，则MB'=50cm．
故绳子最短的长度为：50cm．
作OC垂直于B'M交于D，OC是顶点O到MB'的最短距离，则DC是MB'与弧AA'的最短距离，DC=OC-OD=

OM•OB′

MB′

-20=4cm，
即绳子上各点与上底面圆周的最短距离是 4cm．
故答案为：20，4．

点评：本题考查了在几何体表面的最短距离的求出，一般方法是把几何体的侧面展开后，根据题意作出最短距离即两点连线，结合条件求出，考查了转化思想．