Question

离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则∠FBA等于

1. A.
   60°
2. B.
   75°
3. C.
   90°
4. D.
   120°

Answer 1

C
分析：通过 ，推出 ，验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．
解答：∵
∴
在三角形FAB中有b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=
∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
所以∠FBA等于 90°．
故选C．
点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．