Question

18．已知函数f（x）=|2x-m|+m．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}，求实数m的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使f（x）≤a-f（-x）有解的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得不等式f（x）≤6的解集为m-3≤x≤3，再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}，可得m-3=-1，由此求得m的范围．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4的最小值，可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|2x-m|+m，不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}，
∴|2x-m|≤6-m 的解集为{x|-1≤x≤3}．
由|2x-m|≤6-m，可得m-6≤2x-m≤6-m，求得m-3≤x≤3，故有m-3=-1，m=2．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x-m|+2，令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4=$\left\{\begin{array}{l}{4-4x，x≤-1}\\{8，-1＜x≤1}\\{4+4x，x＞1}\end{array}\right.$，
故g（x）的最小值为8，
故使f（x）≤a-f（-x）有解的实数a的范围为[8，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．