Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法解决，令x=y=0即得；
（2）利用条件：“当x＞0时，f（x）＞1”，只须证明当x≤0时，f（x）＞0即可；
（3）利用单调函数的定义证明，设x₁＜x₂，将f（x₂）写成f[（x₂-x₁）+x₁]的形式后展开，结合（2）的结论即可证得；
（4）由f（x）•f（2x-x²）＞f（0）得f（3x-x²）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可．

解答：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f²（0）．
又f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）证明：当x≤0时，-x＞0，
∴f（0）=f（x）•f（-x）=1．
∴f（-x）=

1

f(x)

＞0．又x＞0时f（x）≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）．
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1．
又f（x₁）＞0，∴f（x₂-x₁）•f（x₁）＞f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（x₁）．∴f（x）是R上的增函数．
（4）解：由f（x）•f（2x-x²）＞1，
f（0）=1得f（3x-x²）＞f（0）．
又f（x）是R上的增函数，
∴3x-x²＞0，
∴0＜x＜3．

点评：本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明．解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．