Question

（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为

8的正方形（记为Q）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）过点P的直线与椭圆C相交于

M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内

（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，

由题设条件知， 所以

     故椭圆C的方程为                               _{---------------4分}

   （Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。             

    如图，设点M，N的坐标分别为

线段MN的中点为G，由

得．  ……①              _{---------------6分}

由_，得．②_{-------------7分}

因为是方程①的两根，所以，

于是    =，     ．                                       _{-------------9分}

因为，所以点G不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为

即  亦即              _{----------12分}

解得，此时②也成立．

故直线斜率的取值范围是                   _{-------------14分}