Question

如图，是函数y=(

1

2

)x和y=3x²图象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）时，两函数值相等．
给出如下两个命题：
①当x＜x₁时，(

1

2

)x＜3x2；
②当x＞x₂时，(

1

2

)x＜3x2，
（1）举出一个反例，说明命题①是假命题；
（2）利用基本函数的单调性，说明命题②是真命题．

Answer 1

分析：（1）利用条件，举出反例即可．（2）利用函数的单调性的定义证明命题．

解答：解：（1）可以举反例：取x=-10，则x＜x₁，
但(

1

2

)-10=1024，3×（-10）²=300，∴(

1

2

)x＜3x2不成立；
（2）∵函数y=(

1

2

)x在[x₂，+∞）上是减函数，函数y=3x²在[x₂，+∞）上是增函数，
∴当x＞x₂时，(

1

2

)x＜(

1

2

)x2=3

x

2 2

＜3x2．

点评：本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质．