Question

已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A，B，C三点共线，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b
令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

当x∈(0，

1

3

)时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x∈(

1

3

，1)时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）有极小值为?(

1

3

)=ln3-

1

2

即为最小值．
又φ（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2
=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln3-

1

2

＜b≤ln2．