Question

已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=

1

x2-1

+a．
（Ⅰ）求g（x）在P（

2

，g（

2

））处的切线方程l；
（Ⅱ）若f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；
（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的个数．

Answer 1

分析：（I）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（II）先求出导函数，找到导数为0的根，再利用点到直线的距离公式列出关于a的方程即可得出结论．
（III）设函数h（x）=f（x）-g（x），这个函数有几个零点就说明有几个根．然后利用导数研究函数单调性，并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数零点的个数即可求根的个数．

解答：解：（Ⅰ）∵g′（x）=

-2x

(x 2-1) 2

∴g′（

2

）=-2

2

且g（

2

）=1+a
故g（x）在点P（

2

，g（

2

）））处的切线方程为2

2

x+y-5-a=0 …（5分）
（Ⅱ）由f′x）=

2x

1+x 2

得x=0，故f（x）仅有一个极小值点M（0，0），
根据题意得：d=

|5+a|

3

∴a=-2或 a=-8   …（10分）
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-

1

x 2-1

-ah′（x）=

2x

1+x 2

+

2x

(x 2-1) 2

x∈[0，1）∪（1，+∞）时h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，h′（x）＜0
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）时h（x）单调递减，[0，1），（1，+∞）时h（x）单调递增．h（x）为偶函数，
x∈（-1，1）时h（x）极小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情况为：
1-a＞0时，a＜1时，原方程有2个根；
1-a=0时，a=1时，原方程有3个根；
1-a＜0时，a＞1时，原方程有4个根．…（15分）

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．此题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，培养学生分类讨论的数学思想．