Question

已知等差数列{a_n}中，a₃+a₇＜2a₆且a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的两根，数列{b_n}的前项和S_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判断数列{a_n}是递增数列，可得a₃＜a₇．利用a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的两根，即可求得公差，从而可求数列{a_n}的通项公式；由S_n=1-b_n得，当n=1时，，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）得，，利用错位相减法求和，即可证得．
解答：（1）解：由a₃+a₇=2a₅＜2a₆得a₅＜a₆，所以数列{a_n}是递增数列．…（1分）
所以a₃＜a₇．由x²-18x+65=0解得a₃=5，a₇=13…（2分）
公差，所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1（n∈N^*）…（3分）
由S_n=1-b_n得，当n=1时，；…（4分）
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，得…（5分）
所以{b_n}是首项为，公比为的等比数列，所以…（6分）
（2）证明：由（1）得，…（7分）
所以由错位相减法得…（9分）
因为
所以{T_n}是递增数列，所以
故…（13分）
点评：本题考查根与系数的关系，考查数列的通项的求解，考查数列的求和与不等式的证明，解题的关键是正确求出数列的通项．