题目内容

设各项为正的数列{an}满足：a1=1，
nan+1
an
=
(n+1)an
an+1
+1，令b1=a1，bn=n2[a1+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an-12
](n≥2)．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求证：(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)＜4(n≥1)．
分析：（Ⅰ）令t=
an+1
an
，则nt=
n+1
t
+1⇒t=
n+1
n
或t=-1（舍去）即
an+1
an
=
n+1
n
，然后利用迭乘法可求出an的值．
（II）根据题目条件可知
bn+1
bn+1
=
n2
(n+1)2
，然后利用该等下进行化简(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)=2•
bn+1
(n+1)2
，然后利用放缩法可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）令t=
an+1
an
，则nt=
n+1
t
+1⇒t=
n+1
n
或t=-1（舍去）即
an+1
an
=
n+1
n
，
∴
an
an-1
=
n
n-1
，
an-1
an-2
=
n-1
n-2
，…
a3
a2
=
3
2
，
a2
a1
=
2
1

将以上各式相乘得：an=n．…（4分）
（Ⅱ）∵bn=n2[a1+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an-12
](n≥2)．
∴bn=n2[1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
](n≥2)．⇒
bn
n2
=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
，
∴
bn+1
(n+1)2
=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
+
1
n2
=
bn
n2
+
1
n2

∴
bn+1
bn+1
=
n2
(n+1)2
；…（6分）
当n=1时，1+
1
b1
=2＜4，结论成立；…（7分）
当n≥2时，(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)=
b1+1
b1
•
b2+1
b2
•
b3+1
b3
…
bn+1
bn

=
b1+1
b1b2
•(
b2+1
b3
•
b3+1
b4
…
bn+1
bn+1
)bn+1=
1+1
1×4
(
22
32
•
32
42
•
42
52
…
n2
(n+1)2
)bn+1
=2•
bn+1
(n+1)2
…（9分）
∴2[1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
+
1
n2
]＜2[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]
=2[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]=4-
4
n
＜4．…（12分）
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用放缩法证明不等式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．
已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=
5
2
且关于x的方程f（x）=-
1
2
x2+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*．求证：an≤2n-1．
已知函数f（x）=
lnx+ax
（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．
已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．
已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网