Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一条准线为x=-4，且与抛物线y²=8x有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P是该椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点恰好落在由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界），求此时直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，得

a2

c

=4，且c=2，可求得a，b，从而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+4）．将其代入代入椭圆得到关于x的二次方程，其根的判别式大于0得k的取值范围，再依据线段MN的中点恰好落在由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界），得到不等关系求得k的范围，最后求出它们的交集即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得

a2

c

=4，且c=2，
可求得a=2

2

，b=2，
易知椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）椭圆的左准线方程为x=-4，点P的坐标（-4，0），
显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y=k（x+4）．
设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）线段MN的中点为E（x₀，y₀），
将y=k（x+4）代入椭圆，得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得k2＜

1

2

．②
x1+x2=-

16k2

1+2k2

，
于是x0=

x1+x2

2

=-

8k2

1+2k2

，y0=k(x0+4)=

4k

1+2k2

，
因为x0=-

8k2

1+2k2

≤0，所以点E不可能在y轴的右边，
又直线F₁B₂、F₁B₁，方程分别为y=x+2，y=-（x+2），
则必有

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k2 1+2k2 -2

，
亦即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

．
解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

，此时②也成立．

点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．