Question

（2010•杭州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为

4+π2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 sinα+f（α）=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确定函数的周期，求出ω，确定?的值，求出f（x）的解析式；
（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，得到角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，根据同角的三角函数之间的关系得到结果．

解答：解：（1）∵f（x）为偶函数，∴sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
2sinωxcosφ=0恒成立
∴cosφ=0
又0≤φ≤

π

2

，
∴φ=

π

2

．其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为

4+π2

，
设其最小正周期为T，则

T

2

=

4+π2-22

=π，
∴T=2π，∴ω=1，
∴f（x）=cosx
（2）∵原式=

sin2α-cos2α+1

1+tanα

=

2sinαcosα+2sin2α

1+ sinα cosα

=2sinαcosα，又sinα+cosα=

2

3

，
∴1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，
∴原式=-

5

9

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，诱导公式和二倍角的应用，考查计算能力，根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据．