Question

11．对于椭圆x²-my²=1（|m|＜1），给出下列命题：
①焦点在x轴上；
②长半轴的长是$\frac{1}{\sqrt{m}}$；
③短半轴的长是1；
④焦点到中心的距离$\sqrt{-\frac{1+m}{m}}$；
⑤离心率e=$\sqrt{1+m}$．
其中正确命题的序号是③④⑤．

Answer 1

分析 对于椭圆x²-my²=1（|m|＜1），化为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{-m}}$=1，因此-1＜m＜0，$\frac{1}{-m}$＞1．于是：a=$\sqrt{\frac{1}{-m}}$，b=1，c=$\sqrt{-\frac{1+m}{m}}$，即可得出．

解答 解：对于椭圆x²-my²=1（|m|＜1），化为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{-m}}$=1，因此-1＜m＜0，$\frac{1}{-m}$＞1．
∴椭圆的焦点在y轴上，长半轴的长=$\sqrt{\frac{1}{-m}}$，短半轴的长是1，焦点到中心的距离c=$\sqrt{\frac{1}{-m}-1}$=$\sqrt{-\frac{1+m}{m}}$，离心率e=$\frac{\sqrt{-\frac{1+m}{m}}}{\sqrt{\frac{1}{-m}}}$=$\sqrt{1+m}$．
综上可得：正确的是③④⑤．
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．