Question

已知函数f(x)=log2(2-x-1)．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性和单调性．
（Ⅱ）若f（x）＜0，求x的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2^-x-1＞0，可得函数的定义域为（-∞，0），不关于原点对称，可得f（x）为非奇非偶函数．再根据函数t=2^-x-1在定义域（-∞，0）上是减函数，
y=log₂t，根据复合函数的单调性，可得f（x）的单调性．
（Ⅱ）若f（x）＜0，根据 f（-1）=0，且函数f(x)=log2(2-x-1)在定义域（-∞，0）上是减函数，可得x＞-1，再结合函数的定义域，确定x的范围．

解答：解：（Ⅰ）由2^-x-1＞0，可得x＜0，故函数的定义域为（-∞，0），不关于原点对称，故f（x）为非奇非偶函数．
由于函数t=2^-x-1=

1

2x

-1在定义域（-∞，0）上是减函数，根据复合函数的单调性，
函数f(x)=log2(2-x-1)在 定义域（-∞，0）上是减函数．
（Ⅱ）若f（x）＜0，∵f（-1）=log₂（2-1）=0，函数f(x)=log2(2-x-1)在定义域（-∞，0）上是减函数，∴x＞-1．
再结合函数的定义域为（-∞，0），可得所求的x的范围为（-1，0）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和正明，利用单调性解不等式，属于中档题．