Question

已知函数f（x）=A•cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数F（x）=f（x）+f（x+π），求F（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）由图象求出A，ω，x=

π

2

时2cos(

1

2

•

π

2

+φ)=0，求出φ，解得函数f（x）的解析式；
（2）化简函数F（x）=f（x）+f（x+π），利用正弦函数的单调性，求F（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）∵f（x）=Acos（ωx+φ），由图象知A=2，

2π

ω

=2(

3π

2

+

π

2

)，∴ω=

1

2

又x=

π

2

时，即2cos(

1

2

•

π

2

+φ)=0，∴φ=kπ+

π

4

(k∈Z)．
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

4

．
∴f(x)=2cos(

1

2

x+

π

4

)．（6分）
（2）F(x)=f(x)+f(x+π)=2cos(

1

2

x+

π

4

)-2sin(

1

2

x+

π

4

)=-2

2

sin

x

2

要使F（x）单调递减，则y=sin

x

2

要单调递增．
由2kπ-

π

2

＜

1

2

x＜2kπ+

π

2

(k∈Z)，得(4k-1)π＜x＜(4k+1)π(k∈Z).
∴F（x）的单调递减区间为（4k-1）π，（4k+1）π（k∈Z）．（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，是好题．