Question

已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1-x）（a∈R）的图象关于原点对称．
（1）求定义域．
（2）求a的值．
（3）若g(x)=ef(x)-

1-m

2+m

有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，由此求得函数的定义域．
（2）由题意可得，函数f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），即 （1+a）ln（1-x）+（a+1）ln（1+x）=0，即（1+a）ln（1-x²）=0恒成立，由此可得a的值．
（3）由题意可得：ef(x)-

1-m

2+m

=0，在x∈（-1，1）上有解，即：

1+x

1-x

=

1-m

2+m

，解得 x=-

2

3

m-

1

3

 ∈(-1，1)，由此利用不等式的性质求得m的范围．

解答：解：（1）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由题意可得，函数f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），即 ln（1-x）+aln（1+x）=-[ln（1+x）+aln（1-x）]，
即 （1+a）ln（1-x）+（a+1）ln（1+x）=0，故（1+a）ln（1-x²）=0恒成立，∴a=-1．
（3）∵f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln

1+x

1-x

，由题意可得：ef(x)-

1-m

2+m

=0，在x∈（-1，1）上有解，
即：

1+x

1-x

=

1-m

2+m

，3x=

1-m

2+m

，3x=-2m-1，
∴x=-

2

3

m-

1

3

 ∈(-1，1)，即 -1＜-

2

3

m-

1

3

＜1，
解得-2＜m＜1，
∴m∈（-2，1）．

点评：本题主要考查求函数的定义域，奇函数的定义，求函数的零点，不等式的性质应用，属于中档题．