Question

(本小题满分13分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求的值及的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

 

Answer 1

【答案】

（I）   

 （II）当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.

【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一。

（1））由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）, 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=80，进而得到 C(x), 建造费用为C₁（x）=6x，则根据隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．

（I）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为，

    再由

    而建造费用为

    最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

  6分

   （II）

    解得（舍去）.

    当时，    当

故x=5是的最小值点，对应的最小值为

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.                13分