Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的斜率；
（II）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案．
（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，
f′（x）=2x²-3+

1

x

，故f′（2）=

3

2

．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为

3

2

．
（2）f′（x）=ax²-（a+1）+

1

x

．
令f′（x）=0，解得x=1，或x=

1

a

．
因为a＞0，x＞0．
①当0＜a＜1时，
若x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
若x∈（1，

1

a

）时，f′（x）0，＜函数f（x）单调递减；
若x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当a=1时，
若x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
③当a＞1时，
若x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
若x∈（

1

a

，1）时，f′（x）0，＜函数f（x）单调递减；
若x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知函数的解析式求出导函数的解析式是解答本题的关键．