题目内容

设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n= $数学公式$ ，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n= $\text{[math]}$ ，①
∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1= $\text{[math]}$ ．②
①-②，得3^n-1a_n= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （n≥2），
在①中，令n=1，
得 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹- $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n= $\text{[math]}$ ?当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1= $\text{[math]}$ ，两式作差求出数列{a_n}的通项．
（2）由（1）的结论可知数列{b_n}的通项．再用错位相减法求和即可．
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．

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