Question

（2012•马鞍山二模）已知椭圆

x2

4

+

y2

4

=1（0＜b＜2）的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作圆P．
（I）当b=

3

时，求圆P的方程；
（II）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出FC、BC的中垂线方程，联立两方程，解得P的坐标，根据b=

3

，确定圆心坐标与半径，即可得到圆P方程；（Ⅱ）直线AB与圆P不能相切，用反证法，如果直线AB与圆P相切，求得c=0或4，与c∈（0，2）矛盾，故可得结论．

解答：解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（-c，0），（0，b），（2，0），则FC、BC的中垂线分别为x=

2-c

2

，y-

b

2

=

2

b

(x-1)，
联立两方程，解得x=

2-c

2

，y=

b2-2c

2b

，即P（

2-c

2

，

b2-2c

2b

）
∴b=

3

时，圆心坐标为（

1

2

，

3

6

），半径PC=

21

3

∴圆P方程为（x-

1

2

）²+（y-

3

6

）²=

7

3

…（6分）
（Ⅱ）直线AB与圆P不能相切．…（7分）
理由如下：因为kAB=

b

2

，k_PB=

b2+2c

b(c-2)

如果直线AB与圆P相切，则

b2+2c

b(c-2)

×

b

2

=-1…（10分）
解得c=0或4，
又c²=4-b²∈（0，4），∴c∈（0，2），
而0，4∉（0，2），所以直线AB与圆P不能相切．…（13分）

点评：本题考查解析几何综合题，能够强化学生对圆、椭圆有关知识的理解，考查计算能力，训练学生对平面解析几何相关知识的认识．中等题．