Question

已知角α的终边上一点M（x，y）满足

x+y-3≤0 y- 1 2 x≥0 x-1≥0

，则μ=tanα+

1

tanα

的取值范围为

[2，

5

2

]

．

Answer 1

分析：根据条件画出如图可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．M（x，y）为区域内部一点，k=

y

x

表示M、O连线的斜率，运动点M得到MO斜率的最大、最小值，得到

1

2

≤k≤2．而μ=tanα+

1

tanα

=k+

1

k

，利用基本不等式和函数的单调性，即可求出μ的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x+y-3≤0 y- 1 2 x≥0 x-1≥0

表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部的区域
其中A（1，

1

2

），B（1，2），C（2，1）
M（x，y）为区域内的动点，可得
k=

y

x

表示M、O连线的斜率，
运动点M，可得当M与A点或B点重合时，k=

1

2

达到最小值；
当M与C点重合时，k=2达到最大值，即

1

2

≤k≤2
又∵μ=tanα+

1

tanα

=k+

1

k

≥2

k• 1 k

=2，当且仅当k=1时取等号
∴当k=1时，μ有最小值为2；当k=

1

2

或时，μ有最大值为

5

2

．
因此μ=tanα+

1

tanα

的取值范围为[2，

5

2

]
故答案为：[2，

5

2

]

点评：本题给出二元一次不等式组和角α的终边上一点M（x，y），求μ=tanα+

1

tanα

的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和函数最值求法等知识，属于中档题．