Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）（a＞0）
（Ⅰ）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正实数a的值，并求出切线方程；
（Ⅱ）若a=

2

，过点M的圆的两条弦互相垂直，设d₁，d₂分别为圆心到弦AC，BD的距离．
①求d₁²+d₂²的值；
②求两弦长之积|AC|•|BD|的最大值．

Answer 1

分析：（I）由圆的性质，可得点M在圆上，算出M的坐标为（1，

3

）和切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线方程；
（II）①作OF⊥AC、OE⊥BD于F、E，可得如图所示矩形OEMF，可得

d

2 1

+d

2 2

=|OM|2=3，且AC，BD中有一条过圆心时等式式也成立，由此得到d₁²+d₂²的值等于3；
②利用垂径定理算出弦AC、BD长关于d₁、d₂的式子，再根据基本不等式求最值，即可算出|AC|•|BD|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知点M在圆上，
∴1+a²=4，且a＞0得a=

3

∵kOM=

3

，∴k=-

3

3

，
∴切线方程为y-

3

=-

3

3

(x-1)
化简得x+

3

y-4=0，即为所求切线方程；
（Ⅱ）①当AC，BD都不过圆心时，作OF⊥AC、OE⊥BD于F、E，
则可得OEMF为矩形，则

d

2 1

+d

2 2

=|OM|2，
结合M（1，

2

）得|OM|=

3

，可得d₁²+d₂²的值为3；
当AC，BD中有一条过圆心时，上式也成立．
②根据题意，利用垂径定理得
|AC|=2|AF|=2

4- d 2 1

，|BD|=2|BE|=2

4-d   2 2

∴|AC|•|BD|=4

(4- d 2 1 )•(4- d 2 2 )

≤4•

(4- d 2 1 )+(4- d 2 2 )

2

=10
（当且仅当d₁=d₂时等号成立）
由此可得当d₁=d₂=

6

2

时，即弦AC、BD的长相等时，|AC|•|BD|的最大值等于10．

点评：本题着重考查了圆的切线的性质、直线的基本量与基本形式、垂径定理求圆的弦长和基本不等式求最值等知识，属于中档题．