Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-ax2+b在x=2处有极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=x²-2ax…（1分）
由题意知：f′（2）=4-4a=0，得a=1，…（3分）
∴f′（x）=x²-2x，
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，…（5分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，…（6分）
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），
单调递减区间是（0，2）．…（7分）
（2）由（1）知，f（x）=

1

3

x3+x2-b，
f （2）=b-

4

3

为函数f （x）极小值，f （0 ）=b为极大值．…（10分）
∵函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，
∴b-

4

3

＞0或b＜0    …（12分）
即  b＞

4

3

或b＜0    …（13分）