Question

设O为坐标原点，A（4，a），B（b，8），C（a，b），
（1）若四边形OABC是平行四边形，求∠AOC的大小；
（2）在（1）的条件下，设AB中点为D，OD与AC交于E，求

OE

．

Answer 1

分析：（1）利用向量相等即可得出；
（2）利用中点坐标公式、向量共线的充要条件即可得出．

解答：解：（1）由题意得：

OA

=(4，a)，

CB

=(b-a，8-b)，
∵四边形OABC是平行四边形，∴

OA

=

CB

得

b-a=4 8-b=a

⇒

a=2 b=6

．

OA

=(4，2)，

OC

=(2，6)，

OA

•

OC

=8+12=20，
又

OA

•

OC

=|

OA

||

OC

|cos∠AOC=2

5

×2

10

×cos∠AOC=20

2

cos∠AOC
∴cos∠AOC=

2

2

．
∵0°＜∠AOC＜180°，∴∠AOC=45°．
（2）∵为AB中点，∴D的坐标为（5，5），
又由

OE

=λ

OD

，故E的坐标为（5λ，5λ）．
∴

CE

=(5λ-2，5λ-6)，

CA

=(2，-4)
∵A，E，C三点共线，∴

CE

∥

CA

．
得-4×（5λ-2）=（5λ-6）×2，解得λ=

2

3

，从而

OE

=(

10

3

，

10

3

)．

点评：熟练掌握向量相等、中点坐标公式、向量共线的充要条件是解题的关键．