Question

设函数f（x）=

x

2(x+1)

，给定数列{a_n}，其中a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若{a_n}为常数数列，求a的值；
（2）当a≠0时，探究{

1

an

+2}能否是等比数列？若是，求出{a_n}的通项公式；若不是，说明理由；
（3）设b_n=3na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当a=1时，求证：S_n＞4-（n+2）（

1

2

）^n-1．

Answer 1

分析：（1）由于a₁=a，{a_n}为常数数列，得知a=f（a），将其代入f（x）=

x

2(x+1)

，从而求出a的值；
（2）根据a_n+1=f（a_n）取倒数化简得

1

an+1

+2=2(

1

an

+2)，再考虑首项是否为0分类讨论，它是否是等比数列．
（3）根据（2）得a=1时，它是等比数列，从而求出a_n的通项公式，并放缩，得an＞

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴sn＞1+2•

1

2

+…+n•(

1

2

)n-1，令右式=T_n，再用错位相减法化简右式得T_n=4-(n+2)(

1

2

)n-1，从而得证．

解答：解：（1）若{a_n}为常数数列，则a_n=a，由a_n+1=f（a_n），得a=f（a），（1分）
f（x）=

x

2(x+1)

，∴a=

a

2(a+1)

，即a=2a（a+1）解得：a=0或a=-

1

2

．
（2）∵f（x）=

x

2(x+1)

，∴a_n+1=f（a_n）=

an

2(an+1)

，
当a₁=a≠0时，a_n≠0，
∴

1

an+1

=

2an+2

an

=2+

2

an

，
∴

1

an+1

+2=2(

1

an

+2)，
∴

1

a1

+2=

1

a

+2，…（6分）
∴①当a=-

1

2

时，由（1）知an=-

1

2

，

1

an+1

+2=0，∴{

1

an

+2}不是等比数列．…（7分）
②当a≠-

1

2

时，

1

a

+2≠0，∴{

1

an

+2}是以2为公比，以

1

a

+2为首项的等比数列，…（8分）
∴

1

an

+2=(

1

a

+2)2n-1，∴an=

1

( 1 a +2)2n-1-2

     …（9分）
（3）当a=1时，an=

1

3•2n-1-2

＞

1

3•2n-1

=

1

3

•(

1

2

)n-1，…（10分）
∴bn=3nan＞n•(

1

2

)n-1
∴sn=b1+b2+…+bn＞1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1…（11分）
设Tn=1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n•  (

1

2

)n-1①
则

1

2

Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3• (

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，②
由①-②得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-(n+2)(

1

2

)n
∴Tn=4-(n+2)(

1

2

)n-1，（13分），
所以Sn＞4-(n+2)(

1

2

)n-1…（14分）

点评：此题考查等比数列的判断，关键在于其首项是否为0，比值是否为常数．同时还考查了放缩法及数列求和的错位相减法．