题目内容

已知等差数列{a_n}的前n项和为A_n，a₁+a₅=6，A₉=63．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和A_n；
（2）数列{b_n}的前n项和B_n满足： $数学公式$ ，数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证： $数学公式$ ．

（1）解：∵A₉=63，∴9a₅=63，∴a₅=7
∵a₁+a₅=6，∴a₁=-1，∴d= $\text{[math]}$
∴a_n=2n-3，A_n= $\text{[math]}$ =n²-2n
（2）证明：∵ $\text{[math]}$
∴两式相减可得：6b_n=8b_n-8b_n-1∴ $\text{[math]}$ （n≥2）
∵6b₂=8b₁-1
∴b₁= $\text{[math]}$
∴b_n=2^2n-3∴a_nb_n=（2n-3）•2^2n-3
∴S_n=-1•2^-1+1•2¹+…+（2n-3）•2^2n-3
∴4S_n=-1•2¹+1•2³+…+（2n-3）•2^2n-1
两式相减可得-3S_n= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$ 随着n的增大而增大
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）利用基本量法，确定数列的首项与公差，即可得到数列的通项与前n项和；
（2）再写一式，两式相减，确定数列{b_n}的通项，再利用错位相减法求和，利用数列的单调性，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查错位相减法求和，解题的关键是确定数列的通项．