Question

19.已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.

       （Ｉ）证明为常数；

       （Ⅱ）若动点（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.

Answer 1

解：由条件知F（2,0）,设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂).

（Ｉ）当AB与x轴垂直时，可设点A、B的坐标分别为（2, ）、（2，－），

此时·＝（1,）·（1,－）＝－1.

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1).

代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-(4k²+2)=0.

则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以

于是·＝(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁-2)(x₂-2)=(k²+1)x₁x₂-(2k²+1)(x₁+x₂)+4k²+1 =+4k²+1=(-4k²-2)+4k²+1=-1.

综上所述，·为常数－1.

（Ⅱ）解法一　设M（x,y），则＝（x-1,y）,=(x₁-1,y₁),＝（x₂-1,y₂），＝（－1,0）.由＝＋＋得：即

于是AB的中点坐标为（）.

当AB不与x轴垂直时，，即y₁-y₂=（x₁-x₂），

又因为A、B两点在双曲线上，所以两式相减得

（x₁-x₂）（x₁+x₂）=(y₁-y₂)(y₁+y₂),即（x₁-x₂）(x+2)=(y₁-y₂)y.

将y₁-y₂=(x₁-x₂)代入上式，化简得x²-y²=4.

当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2,求得M（2,0）,也满足上述方程.

所以点M的轨迹方程是x²-y²=4.

解法二　同解法一得                        ①

当AB不与x轴垂直时，由（Ⅰ）有x₁+x₂=,         ②

y₁+y₂=k(x₁+x₂-4)=k(-4)= .             ③

由①、②、③得x+2=,④　y=                ⑤

当k≠0时，y≠0,由④、⑤得，＝k，将其代入⑤有y=，整理得x²-y²=4.

当k=0时，点M的坐标为（－2,0）,满足上述方程.

当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（2,0）,也满足上述方程.

故点M的轨迹方程是x²-y²=4.