Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）设数列{b_n}前n项和为B_n，试比较

1

B1B2

+

1

B2B3

+…+

1

BnBn+1

与1的大小，并证明你的结论；
（3）设Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件得出数列的通项和前n项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a_n}的通项公式，根据{b_n}的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；
（2）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；
（3）利用错位相减法进行求解T_n是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．

解答：解：（1）由题意可得2a_n=s_n⁺2，

3

22

当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，有2a_n-1=s_n-1⁺2，两式相减，整理得a_n=2a_n-1，
即数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a_n=2ⁿ．
点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此b_n=2n-1．
（2）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴

1

B1B2

+

1

B2B3

+…+

1

BnBn+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1．
（3）T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

2n-1

2n+1

＜

3

2

，
∴T_n＜3．

点评：本题考查等差数列，等比数列的判定问题，考查根据数列的递推关系得出数列通项公式的方法，考查数列的通项与前n项和之间的关系，考查数列求和的思想和方法，考查放缩法估计不等式的有关问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识