Question

已知函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（1）若f（t²-t-1）+f（t-2）＜0，求实数t的取值范围；
（2）若x∈[0，

1

2

]时，函数f（x）的值域是[0，1]，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

1+x

1-x

＞0，由此求得函数y=f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，根据f（-x）=-f（x），可得y=f（x）为奇函数．设-1＜x₁＜x₂＜1，

1+x2

1-x2

-

1+x1

1-x1

=

2(x2-x1)

(1-x2)(1-x1)

＞0，分当a＞1和当0＜a＜1两种情况，分别求得f（x）的单调性．
（2）分a＞1、0＜a＜1两种情况，分别根据f（x）在[0，

1

2

]上的单调性及f（0）=1求得a的值．

解答：解：（1）由已知可得，

1+x

1-x

＞0，即

1+x

x-1

＜0，
所以-1＜x＜1，
所以函数y=f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
因为f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
所以y=f（x）为奇函数．
设x₁，x₂是（-1，1）上的任意两个实数，
则△y=f(x2)-f(x1)=loga

1+x2

1-x2

-loga

1+x1

1-x1

．
因为

1+x2

1-x2

-

1+x1

1-x1

=

2(x2-x1)

(1-x2)(1-x1)

＞0，
所以当a＞1时，y=f（x）在（-1，1）上是增函数；
当0＜a＜1时，y=f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以原不等式可化为f（t²-t-1）＜f（2-t）．
当a＞1时，由

t2-t-1＜2-t 2-t＜1 t2-t-1＞-1

，解得1＜t＜

3

；
当0＜a＜1时，由

t2-t-1＞2-t 2-t＞-1 t2-t-1＜1

，解得

3

＜t＜2．
（2）当a＞1时，f（x）在[0，

1

2

]单调递增，则由f（0）=0，f(

1

2

)=1，求得a=3．
当0＜a＜1时，f（x）在[0，

1

2

]上单调递减，此时f（0）=1无解．
综上可知，a=3．

点评：本题主要考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题．