Question

如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=

3

，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．
（1）求x，y的关系式；  （2）求水管PQ的长的最小值．

Answer 1

分析：（1）延长BD、CE交于A，利用S_△ADE=S_△BDE=S_△BCE=

3

2

，S_△APQ=

3

可建立x，y的关系式； 
（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的长的最小值．

解答：解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=

3

，AE=2     则S_△ADE=S_△BDE=S_△BCE=

3

2

∵S_△APQ=

3

，∴

1

4

(x+

3

)(y+2)=

3

∴x，y的关系式为：(x+

3

)(y+2)=4

3

（2）PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcos30°
=(x+

3

)2+(

4 3

x+ 3

)2-2×4

3

×

3

2

≥2•4

3

-12=8

3

-12
当(x+

3

)2=(

4 3

x+ 3

)2，即x=2

4	3

-

3

时，PQmin=

8 3 -12

=2

2 3 -3

，
∴水管PQ的长的最小值为2

2 3 -3

．

点评：本题主要考查变量关系，考查余弦定理及基本不等式的运用，有一定的综合性．