Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（Ⅱ）f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，分母为正，分子结合二次函数图象及性质，找出函数值为正值、负值的区间，得出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
当a=1时，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

…（2分）
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为 f（2）=-2ln2…（7分）
（Ⅱ）∵f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

∴（1）当-2＜a≤0时，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
   x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
  x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
（2）当a=2时，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
（3））当a＜-2时，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
  x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
  x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．

点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性属于中档、常规题．涉及到了分类讨论的思想方法．