题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2， $数学公式$ ）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（ $数学公式$ ），求直线l的方程．

解：（Ⅰ）由题意得， $\text{[math]}$ ，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，不符合题意，
当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），
由 $\text{[math]}$ 得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
因为△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-8）=32（k²+1）＞0，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为线段AB的垂直平分线过点M（ $\text{[math]}$ ），
所以k_MN•k=-1，即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，
所以直线l的方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据题意可得 $\text{[math]}$ ，解出即可；
（Ⅱ）易知直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出AB中点N的坐标，由题意得k_MN•k=-1，即 $\text{[math]}$ ，把x₀，y₀用k表示出来即得关于k的方程，解出方程然后运用点斜式即可求得l的方程；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，正确挖掘“线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M”所含信息是解决（Ⅱ）问的关键．

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已知椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.

①求椭圆C的方程.

②当⊿AMN的面积为时，求k的值.

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若。则（）

（A）1 （B）2 （C）（D）

已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2，）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（），求直线l的方程．

试题分类

已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2， $数学公式$ ）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（ $数学公式$ ），求直线l的方程．