Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，棱AA₁=2，M，N分别是A₁B₁，AA₁的中点．
（1）求证NB⊥C₁M；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）求平面BNC与平面BCC₁B₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴建立空间坐标系，如图所示．从而算出

BN

、

C1M

的坐标，得到数量积

BN

•

C1M

=0．从而可得

BN

⊥

C1M

，即NB⊥C₁M；
（II）由（I）的坐标系，得到向量

BA1

、

CB1

的坐标，利用空间向量的夹角公式加以计算，即可得到cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（III）取CC₁的中点H，连NH、NC．利用面面垂直的定义与性质，结合题意证出BC⊥平面AA₁C₁C，从而BC⊥CN，结合BC⊥C₁C得∠NCH是平面BNC与平面BCC₁B₁所成二面角的平面角．Rt△NCH中，利用题中数据算出∠NCH大小，从而得到平面BNC与平面BCC₁B₁所成的角的余弦值．

解答：解：（ I ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°
∴CA、CB、CC₁两两互相垂直，
因此，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴建立空间坐标系，如图所示．
则A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （1，0，2），B₁ （ 0，1，2），
C₁（0，0，2），M（

1

2

，

1

2

，2），N（1，0，1），
∴

BN

=（1，-1，1），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴

BN

•

C1M

=1×

1

2

+（-1）×

1

2

+1×0=0，
可得

BN

⊥

C1M

，即NB⊥C₁M；
（II）由（I）得：

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（ 0，1，2）． 
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

|BA1| • |CB1|

=

1×0+(-1)×1+2×2

6 • 5

=

30

10

即cos＜

BA1

，

CB1

＞的值为

30

10

；
（III）取CC₁的中点H，连线NH、NC，则NH∥CA
∵∠BCA=90°，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA是A-CC₁-B的平面角
∴平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C，
结合BC⊥CC₁可得BC⊥平面AA₁C₁C，得BC⊥CN
∴∠NCH就是平面BNC与平面BCC₁B₁所成二面角的平面角
Rt△NCH中，NH=1，CH=

1

2

CC₁=1，所以∠NCH=45°
因此，平面BNC与平面BCC₁B₁所成的角的余弦值等于cos45°=

2

2

．

点评：本题在直三棱柱中求线线垂直、求异面直线所成角并求二面角的大小．着重考查了直棱柱的性质、利用空间坐标系研究线线角和面面角等知识，属于中档题．