Question

（本小题满分12分）

设函数.

（Ⅰ）若当时取得极值，求a的值，并讨论的单调性；

（Ⅱ）若存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少.                           

（Ⅱ）若，，.当时，，当时，，所以无极值.

若，，也无极值

【解析】解：

（Ⅰ），

依题意有，故，                                    ……2分

从而.

的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少.                                     ……5分

（Ⅱ）的定义域为，.

方程的判别式.

（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值.

（ⅱ）若，则或.

若，，.当时，，当时，，所以无极值.

若，，也无极值.       ……7分

（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根

.

当时，. 从而在的定义域内没有零点，故无极值.

当时，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值.

综上，存在极值时，a的取值范围为.                  ……10分

的极值之和为

.                 ……12分