Question

【题目】如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 见解析.(Ⅱ) 60°.

【解析】分析：由题意，以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．则：

(Ⅰ)由空间向量的运算法则可得：,，据此可得平面；

(Ⅱ)由题意可得平面EAB的一个法向量为，平面EBC的一个法向量为，据此计算可得：二面角的大小为60°.

详解：∵四边形是正方形 ，

，∵平面平面，

平面，

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，

∵是正方形的对角线的交点，．

(Ⅰ)，，，

，

平面．

(Ⅱ)设平面的法向量为，

则且，

且．

即

取，则， 则．

又∵为平面的一个法向量，且，

，

设二面角的平面角为，则，．

∴二面角等于．