Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为22，侧棱长为4.E,F分别为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.

（1）求证：平面BEF⊥平面BDD₁B₁；

（2）求点D₁到平面B₁EF的距离d；

（3）求三棱锥B₁-EFD₁的体积V.

Answer 1

思路分析：先建立直角坐标系，再求出各点的坐标，用向量法求解，证明即可.

解：（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x，y，z轴建立直角坐标系，依题意，有

A(,0,0)，C(0,,0)，E(,,0)，F(,,0)，B₁(,,4)，D₁(0,0,4).

设平面B₁EF的法向量为n=(x，y，z)，

由n⊥,n⊥,=(0,,-4)，=（，,0)，

得∴x∶y∶z=1∶1∶()，n=（1，1，）.

又平面BDD₁B₁的法向量=(,0)，

∵n·=1×()+1×()+（）×0=0，

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（2）∵=(,0)，∴平面B₁EF的法向量n=（1，1，）.

∴D₁到平面B₁EF的距离d=.

（3）∵=(0,,-4),=(,0 ,-4)，

∴cos〈，〉=.

∴sin〈，〉=.

∴S_△BEF=||·||sin〈，〉=×18×，

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