题目内容
已知函数f（x）=sin| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
（Ⅰ）将f（x）写成Asin（ωx+φ）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
分析：（1）先将函数f（x）化简为：f(x)=
sin
+
(1+cos
)=
sin
+
cos
+
=sin(
+
)+
，
令sin(
+
)=0，可得答案．
（2）由b2=ac，有根据余弦定理可得cosx=
=
≥
=
，所以可得x∈(0，
]，f（x）值域为(
，1+
]．得到答案．
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
令sin(
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由b2=ac，有根据余弦定理可得cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
解答：解：f(x)=
sin
+
(1+cos
)=
sin
+
cos
+
=sin(
+
)+
，
（Ⅰ）由sin(
+
)=0
即
+
=kπ(k∈z)得x=
π，k∈z，
即对称中心的横坐标为
π，k∈z；
（Ⅱ）由已知b2=ac，cosx=
=
≥
=
，
∴
≤cosx＜1， 0＜x≤
，
＜
+
≤
∵|
-
|＞|
-
|，∴sin
＜sin(
+
)≤1，∴
＜sin(
+
)≤1+
，
即f（x）的值域为(
，1+
]，
综上所述，x∈(0，
]，f（x）值域为(
，1+
]．
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）由sin(
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
即
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3k-1 |
| 2 |
即对称中心的横坐标为
| 3k-1 |
| 2 |
（Ⅱ）由已知b2=ac，cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
∵|
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 9 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
即f（x）的值域为(
| 3 |
| ||
| 2 |
综上所述，x∈(0，
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的化简和余弦定理的应用．属中档题．求三角函数值域时一定多注意自变量x的取值范围．
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