Question

已知函数f(x)=ax-x²的最大值不大于，又当x∈［,］时,f(x)≥.

(1)求a的值;

(2)设0＜a₁＜,a_n+1=f(a_n),n∈N^*,证明a_n＜(n≥2).

Answer 1

(1)解：由最大值不大于,得a≤1.又由f(x)≥,得a≥1.于是a=1.?

(2)证明：由a_n+1=f(a_n),

得a_n+1=a_n-a_n²=-(a_n-)²+≤且a_n＞0.?

用数学归纳法(只看第二步):?

a_k+1=f(a_k)在a_k∈(0,)(k≥2)是增函数,?

则得a_k+1=f(a_k)＜f()=- ()²＜.