Question

（2007•天津一模）设f₁（x）=-

2λ

2+λ+x

(λ为常数，且0＜λ＜1)，fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=

fn(0)+λ

fn(0)+2

，（n∈N^*）．
（1）求a₁的值；
（2）求证：数列{a_n}是等比数列；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n•b_n=

anSn

n2

，Tn=

b

1

+b2+…+bn，试比较Tn与

1

2

a1的大小．

Answer 1

分析：（1）根据a1=

f1(0)+λ

f1(0)+2

可知先求f₁（0），只需令f₁（x）=-

2λ

2+λ+x

中的x=0即可求出所求；
（2）根据f_n+1（0）=f₁[f₁（0）]与an+1=

fn+1(0)+λ

fn+1(0)+2

可得a_n+1与a_n的关系，从而证得数列{a_n}是等比数列；
（3）根据（2）先求a_n与S_n的通项公式，利用不等式可证得anSn＜

1

4

a1，然后根据当n≥2时，

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，则bn＜

1

4

a1(

1

n -1

-

1

n

)，从而比较T_n与

1

2

a1的大小．

解答：解：（1）f1(0)=-

2λ

2+λ

…（1分）
a1=

f1(0)+λ

f1(0)+2

=

λ2

4

…（4分）
（2）fn+1(0)=f1[f1(0)]=-

2λ

2+λ+f1(0)

…（5分）
an+1=

fn+1(0)+λ

fn+1(0)+2

=

2λ 2+λ+fn(0)

2λ 2+λ+fn(0)

=

λ

2

-

fn(0)+λ

fn(0)+2

=

λ

2

an…（7分）
∴数列{a_n}是

λ2

4

为首项，

λ

2

为公比的等比数列．…（8分）
（3）由（2）知an=

λ2

4

•(

λ

2

)n-1=(

λ

2

)n+1，Sn=

λ2 4 [1-( λ 2 )n]

1- λ 2

…（5分）

anSn= λ2 4 1- λ  2 [1-( λ 2 )n]•( λ 2 )n+1= λ 2 • λ2 4 1- λ 2 [1-( λ 2 )n]•( λ 2 )n

=a1•

λ 2

1- λ 2

[1-(

λ

2

)n](

λ

2

)n
∵0＜λ＜1
∴a1＞0，0＜

λ

2

＜

1

2

，0＜

λ 2

1- λ 2

＜1，[1-(

λ

2

)n•(

λ

2

)n]＜

1

4

∴anSn＜

1

4

a1…（11分）
又当n≥2时，

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，∴bn＜

1

4

a1(

1

n -1

-

1

n

)  （13分）
∴Tn＜

1

4

a1[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=

1

4

a1(2-

1

n

)＜

1

2

a1…（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等比数列的证明和求和，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于难题．